Question

已知數列an＝n－16，bn＝(－1)n|n－15|，其中n∈N*.

(1)求滿足an＋1＝|bn|的所有正整數n的集合；

(2)若n≠16，求數列的最大值和最小值；

(3)記數列{anbn}的前n項和為Sn，求所有滿足S2m＝S2n(m＜n)的有序整數對(m，n)．

 

Answer 1

（1）{n|n≥15，n∈N*}（2）(n＝18)，最小值-2(n＝17)（3）S16＝S14，m＝7，n＝8

【解析】(1)an＋1＝|bn|，n－15＝|n－15|.

當n≥15時，an＋1＝|bn|恒成立；

當n<15時，n－15＝－(n－15)，n＝15(舍去)．

∴n的集合為{n|n≥15，n∈N*}．

(2)＝.

(ⅰ)當n>16時，n取偶數時，＝，

當n＝18時，＝，無最小值；n取奇數時，＝－1－，

n＝17時，＝－2，無最大值．

(ⅱ)當n<16時，＝.

當n為偶數時，＝＝－1－.

n＝14時，＝－，＝－；

當n為奇數時，＝＝1＋，

n＝1時，＝1－＝，n＝15時，＝0.

綜上，最大值為(n＝18)，最小值－2(n＝17)．

(3)當n≤15時，bn＝(－1)n－1(n－15)，a2k－1b2k－1＋a2kb2k＝2(16－2k)≥0，

當n>15時，bn＝(－1)n(n－15)，a2k－1b2k－1＋a2kb2k＝2(2k－16)>0，其中a15b15＋a16b16＝0，

∴S16＝S14，m＝7，n＝8.