Question

【題目】某學(xué)校為了了解全校學(xué)生“體能達(dá)標(biāo)”的情況，從全校1000名學(xué)生中隨機(jī)選出40名學(xué)生，參加“體能達(dá)標(biāo)”預(yù)測(cè)，并且規(guī)定“體能達(dá)標(biāo)”預(yù)測(cè)成績(jī)小于60分的為“不合格”，否則為“合格”若該校“不合格”的人數(shù)不超過(guò)總?cè)藬?shù)的，則全校“體能達(dá)標(biāo)”為“合格”；否則該校“體能達(dá)標(biāo)”為“不合格”，需要重新對(duì)全校學(xué)生加強(qiáng)訓(xùn)練現(xiàn)將這40名學(xué)生隨機(jī)分為甲、乙兩個(gè)組，其中甲組有24名學(xué)生，乙組有16名學(xué)生經(jīng)過(guò)預(yù)測(cè)后，兩組各自將預(yù)測(cè)成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析如下：甲組的平均成績(jī)?yōu)?/span>70，標(biāo)準(zhǔn)差為4；乙組的平均成績(jī)?yōu)?/span>80，標(biāo)準(zhǔn)差為6（題中所有數(shù)據(jù)的最后結(jié)果都精確到整數(shù)）.

（1）求這40名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差；

（2）假設(shè)該校學(xué)生的“體能達(dá)標(biāo)”預(yù)測(cè)服從正態(tài)分布用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值.利用估計(jì)值估計(jì)：該校學(xué)生“體能達(dá)標(biāo)”預(yù)測(cè)是否“合格”？

附：①個(gè)數(shù)的平均數(shù)，方差；

②若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.

Answer 1

【答案】（1）平均分為74，標(biāo)準(zhǔn)差為7.（2）該校學(xué)生“體能達(dá)標(biāo)”預(yù)測(cè)合格.

【解析】

(1)根據(jù)甲組的平均成績(jī)?yōu)?/span>70,乙組的平均成績(jī)?yōu)?/span>80，根據(jù)公式可得

設(shè)甲組24名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)分別為：，乙組16名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)分別為：，將公式變形變形為，

分別求得和，即可根據(jù)公式解得解得和，最后整理公式得，計(jì)算并求解即可

(2)由(1)可得,,由，

得，進(jìn)而得到，

求出全校學(xué)生“不合格”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比，與進(jìn)行比較即可

（1）這40名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均分.

將變形為.

設(shè)第一組學(xué)生的測(cè)試成績(jī)分別為，

第二組學(xué)生的測(cè)試成績(jī)分別為，則

第一組的方差為

，

解得.

第二組的方差為

，

解得.

這40名學(xué)生的方差為

，

所以.

綜上，這40名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均分為74，標(biāo)準(zhǔn)差為7.

（2）由，，得的估計(jì)值為，的估計(jì)值.

由，得，

即.所以

，

從而，在全校1000名學(xué)生中，“不合格”的有（人），

而，

故該校學(xué)生“體能達(dá)標(biāo)”預(yù)測(cè)合格.