Question

Answer 1

（Ⅰ）易證_；令，

_（Ⅱ）假設(shè)方程f（x）﹣x=0存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根α，β（α≠β），
則f（α）﹣α=0，f（β）﹣β=0
不妨設(shè)α＜β，
根據(jù)題意存在數(shù)c（α，β）使得等式f（β）﹣f（α）=（β﹣α）f'（c）成立．
因?yàn)閒（α）=α，f（β）=β，且α≠β，
所以f'（c）=1，與已知0＜f'（x）＜1矛盾，
所以方程f（x）﹣x=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；
當(dāng)，不妨設(shè).
因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/10/14/2014041014431687749548.files/image039.gif'>,且所以為增函數(shù)，那么.
又因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/10/14/2014041014431687749548.files/image043.gif'>，所以函數(shù)為減函數(shù)，
所以.
所以，即.
因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/10/14/2014041014431687749548.files/image048.gif'>，所以， （1）
又因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/04/10/14/2014041014431687749548.files/image050.gif'>，所以， （2）
（1）（2）得即.
所以.
綜上，對(duì)于任意符合條件的,總成立