Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）討論函數(shù)的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）當時，無零點；當時，只有一個零點；當時，有兩個零點

【解析】

（1）當時，，令，，則可得到函數(shù)的單調(diào)性，進一步得到函數(shù)，則可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（2）由題意有，當時，顯然無零點，當時，即的根的個數(shù)，即即，設，求出的導數(shù)，分析出的單調(diào)性，從而得出函數(shù)的零點的情況.

解：（1）函數(shù)的定義域為，

當時，

設，，則

令，則，令，則，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以，即.

令，則，令，則，

因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）函數(shù)的零點個數(shù)，即的根的個數(shù).

當時，在上恒有成立，所以無零點.

當時， ，即

即，設

設，

由，可得，，可得

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以

所以當時，，當時，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

又當時，，所以，，則

即當時，.

又設，則.

令，得，，得.

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則.

所以

由洛必達法則有所以當時，，大致圖象如圖.

(或者由冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)中，當時，指數(shù)函數(shù)的變化速度比冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)快得多，也可以說明以當時，)

當，即時，方程無實數(shù)根，即函數(shù)無零點.

當，即時，方程有1個實數(shù)根，即函數(shù)有1個零點.

當，即時，方程無實數(shù)根，即函數(shù)無零點.

當，即時，方程有2個實數(shù)根，即函數(shù)有2個零點.

綜上，當時，無零點；

當時，只有一個零點；

當時，有兩個零點.