Question

若對(duì)于定義在R上的函數(shù)f（x），其函數(shù)圖象是連續(xù)不斷，且存在常數(shù)λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x成立，則稱f（x）是λ-伴隨函數(shù)．有下列關(guān)于λ-伴隨函數(shù)的結(jié)論：
①f（x）=0是常數(shù)函數(shù)中唯一一個(gè)λ-伴隨函數(shù)；
②f（x）=x²是一個(gè)λ-伴隨函數(shù)；
③

1

2

-伴隨函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)．
其中不正確______的結(jié)論的序號(hào)是______．（寫(xiě)出所有不正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

①不正確，原因如下．
若f（x）=c≠0，則取λ=-1，則f（x-1）-f（x）=c-c=0，既f(wàn)（x）=c≠0是-1-伴隨函數(shù)
②不正確，原因如下．
若 f（x）=x²是一個(gè)λ-伴隨函數(shù)，則（x+λ）²+λx²=0．推出λ=0，λ=-1，矛盾
③正確．若f（x）是

1

2

-伴隨函數(shù)．
則f（x+

1

2

）+

1

2

f（x）=0，
取x=0，則f（

1

2

）+

1

2

f（0）=0，若f（0），f（

1

2

）任一個(gè)為0，函數(shù)f（x）有零點(diǎn)．
若f（0），f（

1

2

）均不為零，則f（0），f（

1

2

）異號(hào)，由零點(diǎn)存在定理，在（0，

1

2

）區(qū)間存在x₀，f（x₀）=0．
即

1

2

-伴隨函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)．
故答案為：①②．