Question

設(shè)A={1，2，…，18}. 求最小的正整數(shù)k，使得可以把集合A分成k個(gè)兩兩不交的子集A₁，A₂，…，A_k，對于任一子集）中的任意3個(gè)數(shù)a，b，c（可以是相同的），都有

Answer 1

解析：若A可以分成3個(gè)兩兩不交的子集x，y，z，其中任一個(gè)子集中的任意3個(gè)數(shù)a，b，c（可以是相同的），都有.

    X，Y，Z中一定有一個(gè)至少含有6個(gè)元素，不妨設(shè)X中至少有6個(gè)元素，且，則由題設(shè)知，均不在X中（否則，若，則，矛盾），于是它們在Y或者Z中，不妨設(shè)其中至少有3個(gè)在Y中，設(shè)為y₁，y₂，y₃，y₁<y­₂<y₃，則y₃－y­₁，y₃－y­₂均不在Y中，也不在X中（因?yàn)閥­₃－y₁=（x₆－x _i）－（x ₆－x _j）= x _j－x _i，所以y₃－y₁不在X中，同理y₃－y₂不在X中），所以，y₃－y₁，y₃－y₂都在Z中，所以

    即不屬于Z，也不屬于Y，從上面可知也不屬于X，矛盾.……………………10分

    所以，若A分成3個(gè)兩兩不交的子集X，Y，Z，不可能滿足題設(shè)要求.

    另一方面，A可以分成如下4個(gè)滿足要求的子集：

    A₁={1，4，7，10，13，16}，A₂={2，3，11，12}，

    A₃={5，6，8，9}，A₄={14，15，18}.

    所以，k的最小值為4.………………………………………………………………20分