Question

在數(shù)列{a_n中，a₁=a（a＞2）且an+1=

an2

2(an-1)

(n∈N*)
（1）求證a_n＞2（n∈N^*）；
（2）求證a_n+1＜a_n（n∈N^*）；
（3）若存在k∈N^*，使得a_k≥3，求證：k＜

ln 3 a

ln 3 4

+1．

Answer 1

分析：（1）本題的思路是用數(shù)學(xué)歸納法來證明，在從n=k到n=k+1時(shí)利用歸納假設(shè)時(shí)要充分變形，對(duì)分式進(jìn)行分離變式，即ak+1=

ak2

2(ak-1)

變形為：

1

2

[(a k-1)+

1

ak-1

+2]，然后用上歸納假設(shè)a_k＞2，利用均值不等式可以解答了．
（2）證明a_n+1＜a_n，可以利用作差變形來證明，本題會(huì)用到（1）的結(jié)論，這一點(diǎn)要想到！
（3）的證明有一定難度，但是只要耐心，細(xì)心分析，不難找到解答思路．由已知a_k≥3要構(gòu)造出a_k的表達(dá)式來，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解出k的范圍．本問可以先由要求證的問題k＜

ln 3 a

ln 3 4

+1推演出a(

3

4

)k-1＞3，那么聯(lián)想條件a_k≥3，再利用放縮法構(gòu)造出的a_k的關(guān)系式來，問題就迎刃而解了．

解答：證明：（1）①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=a＞2，命題成立；
設(shè)當(dāng)n=k時(shí)（k≥1且n∈N^*）命題成立，即a_k＞2
而n=k+1時(shí)，ak+1=

ak2

2(ak-1)

=

1

2

[(a k-1)+

1

ak-1

+2]
∵a_k＞2，∴a_k-1＞1，∴ak-1≠

1

ak-1

，
∴(a k-1)+

1

ak-1

＞2∴ak+1＞

1

2

[2+2]=2，
∴n=k+1時(shí)，a_k+1＞2，命題也成立beiwen
由①②對(duì)一切n∈N^*有a_n＞2
（2）an+1-an=

-an(an-2)

2(an-1)

∵a_n＞2，
∴a_n+1-a_n＜0，
∴a_n+1＜a_n
（3）∵a_n+1＜a_n，a_k≥3∴a₁＞a₂＞a₃＞…＞a_k-1＞a_k≥3
∴

ak

ak-1

=

ak-1

2(ak-1-1)

=

1

2

[1+

1

ak-1-1

]＜

1

2

(1+

1

3-1

)=

3

4

即

ak

ak-1

＜

3

4

∴ak=a1•

a2

a1

•

a3

a2

•…•

ak

ak-1

＜a1•

3

4

•

3

4

•…•

3

4

=a(

3

4

)k-1
∴3≤ak＜a(

3

4

)k-1，
∴a(

3

4

)k-1＞3，
∵a＞3，
∴(

3

4

)k-1＞

3

a

∴(k-1)ln

3

4

＞ln

3

a

，又ln

3

4

＜0∴k＜

ln 3 a

ln 3 4

+1

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，綜合考查了數(shù)學(xué)歸納法，放縮法，作差法等方法；對(duì)不等式結(jié)構(gòu)的變形和靈活處理是本題的難點(diǎn)和關(guān)鍵所在，特別是在運(yùn)用放縮法的時(shí)候更加體現(xiàn)出學(xué)生靈活的頭腦，熟練處理各種變形的機(jī)智和果敢．本題在某一個(gè)環(huán)節(jié)處理不當(dāng)將導(dǎo)致解答錯(cuò)誤或者出力而不討好的結(jié)局．