Question

(12分)已知曲線C：x²+y²-2x-4y+m=0

（1）當m為何值時，曲線C表示圓；

（2）若曲線C與直線x+2y-4=0交于M、N兩點，且OM⊥ON(O為坐標原點)，求m的值。

 

Answer 1

【答案】

.解  （1）由D²+E²-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5。

（2）設M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)，由OM⊥ON得x₁x₂+ y₁y₂=0。

將直線方程x+2y-4=0與曲線C：x²+y²-2x-4y+m=0聯(lián)立并消去y得

5x²-8x+4m-16=0，由韋達定理得x₁+x₂=①,x₁x₂=②，又由x+2y-4=0得y= (4-x), ∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(4-x₁)· (4-x₂)= x₁x₂-( x₁+x₂)+4=0。將①、②代入得m=.

【解析】略