Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均不為零，且前n項(xiàng)和為S_n，若對于任意的正整數(shù)m，n，恒有（n-m）S_n+m=（n+m）（S_n-S_m）．
（1）求

S3

a2

的值；
（2）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（3）若a_p，a_q，a_r，a_s成等比數(shù)列，且a₁≠a₂，求證：q-p，r-q，s-r成等比數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等比關(guān)系的確定,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由對于任意的正整數(shù)m，n，恒有（n-m）S_n+m=（n+m）（S_n-S_m）．令m=1，n=2，可得S₃=3a₂，進(jìn)而得到答案；
（2）令m=1，則（n-1）S_n+1=（n+1）（S_n-S₁），可得a_n+3-a_n+2=a_n+2-a_n+1，結(jié)合（1）中結(jié)論得到a₂-a₁=a₃-a₂也成立，則a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，即數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（3）數(shù)列{a_n}的公差不為零且a_p，a_q，a_r，a_s成等比數(shù)列，可得

aq

ap

=

ar

aq

=

as

ar

，即q-p=r-q=s-r≠0，即q-p，r-q，s-r成等比數(shù)列，且公比不為1．

解答： （1）解：∵對于任意的正整數(shù)m，n，恒有（n-m）S_n+m=（n+m）（S_n-S_m）．
令m=1，n=2，則S₃=3a₂，
∴

S3

a2

=3
（2）證明：令m=1，則（n-1）S_n+1=（n+1）（S_n-S₁），
∴nS_n+2=（n+2）（S_n+1-S₁），
∴nS_n+2-（n-1）S_n+1=（n+2）（S_n+1-S₁）-（n+1）（S_n-S₁），
∴na_n+2=（n+1）a_n+1-S₁，∴（n+1）a_n+3=（n+2）a_n+2-S₁，
∴（n+1）a_n+3-na_n+2=（n+2）a_n+2-（n+1）a_n+1，
∴a_n+3-a_n+2=a_n+2-a_n+1，又∵S₃=2a₂，
∴a₂-a₁=a₃-a₂，
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列
（3）證明：∵a₁≠a₂，
∴數(shù)列{a_n}的公差不為零
∵a_p，a_q，a_r，a_s成等比數(shù)列，
∴

aq

ap

=

ar

aq

=

as

ar

記公比為x，則x≠1，且x^q-p=x^r-q=x^s-r
∴q-p=r-q=s-r≠0
∴q-p，r-q，s-r成等比數(shù)列，且公比不為1．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是等差數(shù)列的性質(zhì)和定義，等比數(shù)列的性質(zhì)和定義，是等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，難度中檔．