Question

【題目】如圖所示的幾何體QPABCD為一簡單組合體，在底面ABCD中，∠DAB＝60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，PA∥QD，PA＝1，AD＝AB＝QD＝2.

(1)求證：平面PAB⊥平面QBC；

(2)求該組合體QPABCD的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】(1)證明：因為QD⊥平面ABCD，PA∥QD，所以PA⊥平面ABCD.

又BC平面ABCD，所以PA⊥BC，因為AB⊥BC，且AB∩PA＝A，

所以BC⊥平面PAB，又BC平面QBC，所以平面PAB⊥平面QBC.

(2)平面QDB將幾何體分成四棱錐B－PADQ和三棱錐Q－BDC兩部分，

過B作BO⊥AD，因為PA⊥平面ABCD，BO平面ABCD，

所以PA⊥BO，又AD⊥OB，PA∩AD＝A，

所以BO⊥平面PADQ，即BO為四棱錐B－APQD的高，

因為BO＝，S四邊形PADQ＝3，

所以VB－PADQ＝·BO·S四邊形PADQ＝，

因為QD⊥平面ABCD，且QD＝2，

又△BCD為頂角等于120°的等腰三角形，BD＝2，S△BDC＝，

所以VQ－BDC＝·S△BDC·QD＝，

所以組合體QPABCD的體積為.