Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=a(a＞2)，對一切n∈N^*，a_n＞0，a_n+1=.

（1）求證：a_n＞2且a_n+1＜a_n;

（2）證明a₁+a₂+…+a_n＜2(n+a-2).

Answer 1

證明:（1）證法一：a_n+1=＞0，?

∴a_n＞1.?∴a_n-2=-2=≥0.?

∴a_n≥2，若存在a_k=2,則a_k-1=2,?

由此可推出a_k-2=2,…,a₁=2,此與a₁=a＞2矛盾，故a_n＞2.

∵a_n+1-a_n=＜0，

∴a_n+1＜a_n.?

證法二：（用數(shù)學(xué)歸納法證明a_n＞2）,①當(dāng)n=1時，因a₁=a＞2,故命題a_n＞2成立；②假設(shè)n=k時命題成立，即a_k＞2,那么,a_k+1-2=，所以a_k+1＞2，即n=k+1時命題也成立.

綜上所述，命題a_n＞2對一切正整數(shù)成立.a_n+1＜a_n的證明同上.?

（2）由題（1）得a_n-2=,

∴a_n-2＜＜…＜(n≥2).?

∴(a₁-2)+(a₂-2)+…+(a_n-2)≤(a-2)(1+++…+)=(a-2)=2(a-2)(1-)＜2(a-2).?

∴a₁+a₂+…+a_n＜2(n+a-2).

溫馨提示

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,關(guān)鍵是在證明?n=k+1?時命題成立.從n=k+1的待證不等式的一端“拼湊”出歸納假設(shè)不等式的一端，再運用歸納假設(shè)即可.