Question

如圖：在三棱錐中，是直角三角形，

，，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)．

   （Ⅰ）求證：；

   （Ⅱ）求直線與平面所成的角的大小；

   （Ⅲ）求二面角的正切值．

Answer 1

解法一:（Ⅰ） 連結(jié)BD．在中，.

       ∵，點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，∴．

       又∵即BD為PD在平面ABC內(nèi)的射影，

       ∴．

       ∵分別為的中點(diǎn),∴,

       ∴．

   （Ⅱ）∵∴．

       連結(jié)交于點(diǎn)，∵，,∴，

       ∴為直線與平面所成的角，.

       ∵∴，，又∵，

       ∴.∵，∴，

       ∴在Rt△中，，∴．

   （Ⅲ）過點(diǎn)作于點(diǎn)F，連結(jié)，∵

       ∴即BM為EM在平面PBC內(nèi)的射影，

       ∴∴為二面角的平面角．

       ∵中，,∴．

       解法二：建立空間直角坐標(biāo)系B―xyz，如圖，

       則，，，，.

   （Ⅰ）∵，，

       ∴ ∴.

   （Ⅱ）由已知可得，為平面的法向量，

       ,

∴ ，

       ∴直線與面所成角的正弦值為.

       ∴直線與面所成的角為.

   （Ⅲ）設(shè)平面PEF的一個(gè)法向量為a，∵，

       ∴令，∴ a

       由已知可得，向量為平面PBF的一個(gè)法向量，

       ∴  a ，∴ a .

       ∴二面角的正切值為.