Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{（\frac{1}{2}）}^{x}，}&{x≤0}\\{f（2x-2）}&{0＜x≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，若方程f（x）=x+a有且只有三個不相等的實根，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [0，1）
• B． [1，2）
• C． [1，3）
• D． [0，3）

Answer 1

分析 先求出函數(shù)f（x）的解析式，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結合進行求解即可．

解答 解：當0＜x≤1，則-2＜2x-2≤0，
此時f（x）=f（2x-2）=$（\frac{1}{2}）^{2x-2}$=（$\frac{1}{4}$）^x-1，0＜x≤1，
當1＜x≤$\frac{3}{2}$，則0＜2x-2≤1，
此時f（x）=f（2x-2）=（$\frac{1}{4}$）^2x-2-1=）=（$\frac{1}{4}$）^2x-3，1＜x≤$\frac{3}{2}$，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
由圖象知當直線經過點A（0，1）時，y=x+a與y=f（x）有三個交點，
此時a=1，
當直線經過點B（1，4）時，由4=1+a，解得a=3，
故若方程f（x）=x+a有且只有三個不相等的實根，
則滿足1≤a＜3，
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，求出函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．