Question

如圖所示，已知為圓的直徑，點為線段上一點，且，點為圓上一點，且．點在圓所在平面上的正投影為點，．

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）要證，需先證平面，由于平面易證，故有，又因為，則證得平面；（2）綜合法是先找到二面角的一個平面角，不過必須根據(jù)平面角的定義證明，然后在中解出的三角函數(shù)值.

試題解析：（1）連接，由知，點為的中點，

又∵為圓的直徑，∴，

由知，，

∴為等邊三角形，從而． 3分

∵點在圓所在平面上的正投影為點，

∴平面，又平面，

∴，        5分

由得，平面，

又平面，

∴．             6分

（2）（綜合法）過點作，垂足為，連接．         7分

由（1）知平面，又平面，

∴，又，

∴平面，又平面，∴，       9分

∴為二面角的平面角．         10分

由（Ⅰ）可知，，

∴，則，

∴在中，，

∴，即二面角的余弦值為．     14分

考點：1、線線垂直和線面垂直的證明，2、二面角的計算.