Question

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，其右焦點(diǎn)F₂與拋物線的焦點(diǎn)重合，且橢圓短軸的兩個端點(diǎn)與F₂構(gòu)成正三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的中心作一條直線與其相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形PF₁QF₂面積最大時，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故，由短軸的兩個端點(diǎn)與F₂構(gòu)成正三角形，知a=2b，由此能夠?qū)С鰴E圓的方程．
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），由橢圓的對稱性知，=，當(dāng)四邊形PF₁QF₂面積最大時，P，Q兩點(diǎn)分別位于短軸兩個端點(diǎn)，由對稱性能夠?qū)С?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202111527702512174/SYS201312021115277025121017_DA/4.png">的值．
解答：解：（1）由題，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故…（2分）
又因?yàn)槎梯S的兩個端點(diǎn)與F₂構(gòu)成正三角形，所以a=2b，又a²=b²+c²得a=2，b=1
所以橢圓的方程為…（7分）
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），由橢圓的對稱性知，=
當(dāng)四邊形PF₁QF₂面積最大時，P，Q兩點(diǎn)分別位于短軸兩個端點(diǎn)，
由對稱性不妨設(shè)P（0，1）…（10分）
又則
所以…（16分）
點(diǎn)評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．