Question

17．（Ⅰ）若x＞0，求f（x）=$\frac{12}{x}+3x$的最小值．
（Ⅱ）已知0＜x＜$\frac{1}{3}$，求f（x）=x（1-3x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）先分析各數為正數，且積為定值，直接使用基本不等式求最小值；
（2）先分析各數為正數，且和為定值，直接使用基本不等式求最大值．

解答 解：（1）若x＞0，則3x＞0，$\frac{12}{x}＞0$，
∴f（x）=$\frac{12}{x}$+3x≥2•$\sqrt{\frac{12}{x}•3x}$=12，
當且僅當：$\frac{12}{x}$=3x，即x=2時，取“=”，
因此，函數f（x）的最小值為12；
（2）若$0＜x＜\frac{1}{3}，則0＜3x＜1∴1-3x＞0$，
∵f（x）=x（1-3x）=$\frac{1}{3}$•[3x•（1-3x）]≤$\frac{1}{3}$•$[\frac{3x+（1-3x）}{2}]^2$=$\frac{1}{12}$，
當且僅當：3x=1-3x，即x=$\frac{1}{6}$時，取“=”，
因此，函數f（x）的最大值為$\frac{1}{12}$．

點評 本題主要考查了基本不等式在求最值問題中的應用，注意其前提條件為“一正，二定，三相等”缺一不可，屬于中檔題．