Question

 

如圖，橢圓為橢圓的左、右頂點(diǎn)．

（1）設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)橢圓上的點(diǎn)在橢圓的左、右頂點(diǎn)時(shí)，取得最小值與最大值；

（2）若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為l，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（3）若直線與（2）中所述橢圓相交于、兩點(diǎn)（、不是左右頂點(diǎn)），且滿是，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）設(shè)．

對(duì)稱軸方程．由題意恒成立，                        （2分）

在區(qū)間上單凋遞增，                                （3分）

        ∴當(dāng)且僅當(dāng)橢圓上的點(diǎn)在橢圓的左、右頂點(diǎn)時(shí)取得最小值與最大值．

（注：這里用橢圓第二定義根簡(jiǎn)單直觀）

（2）由已知與（1）得：，

，                                  （5分）

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．                                 （6分）

（3）設(shè)，聯(lián)立

得．                             （7分）

則

又，（8分）

∵橢圓的右頂點(diǎn)為，

                                         （9分）

        解得：，且均滿足，           （10分）

        當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)（2，0），與已知矛盾．

當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)（，0），    （11分）

∴直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）．                           （12分）