Question

如圖所示，已知圓C:(x+1)²+y²=8,定點(diǎn)A(1,0),M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足=2,·=0,點(diǎn)N的軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程；

(2)過點(diǎn)A且傾斜角是45°的直線l交曲線E于兩點(diǎn)H、Q，求|HQ|.

Answer 1

解:(1)∵=2,·=0,

∴NP為AM的垂直平分線.∴|NA|=|NM|.

又∵|CN|+|NM|=2,∴|CN|+|AN|=2＞2.

∴動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C(－1，0)，A(1，0)為焦點(diǎn)的橢圓,

且橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=2,焦距2c=2.∴a=,c=1,b²=1.

∴曲線E的方程為+y²=1.

(2)直線l的斜率k=tan45°=1,

∴直線l的方程為y=x-1.

由消去y得3x²-4x=0.

設(shè)H(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),則x₁+x₂=,x₁x₂=0，

∴|HQ|=|x₁-x₂|=·=·()²=.