Question

如右圖所示,作邊長(zhǎng)為a的正三角形的內(nèi)切圓,在這個(gè)圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形,然后,再作新三角形的內(nèi)切圓.如此下去,求前n個(gè)內(nèi)切圓的面積和.

Answer 1

前n個(gè)內(nèi)切圓的面積和是(1-)π.

解析:

設(shè)第n個(gè)正三角形的內(nèi)切圓的半徑為a_n.

    因?yàn)閺牡?個(gè)正三角形開(kāi)始,每一個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)正三角形邊長(zhǎng)的,每一個(gè)正三角形內(nèi)切圓的半徑也是前一個(gè)正三角形內(nèi)切圓半徑的,

    故a₁=atan30°=a×=a,a₂=a₁,…,a_n=a_n-1.

∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a,公比為的等比數(shù)列.∴a_n=×()^n-1a.

    設(shè)前n個(gè)內(nèi)切圓的面積和為S_n,則

S_n=π(a₁²+a₂²+…+a_n²)=πa₁²［1+()²+()²+()²］=πa₁²［1+()+()²+…+()^n-1］=×(1-)π=(1-)π.