Question

5．當(dāng)x∈[-1，2]時，x³-x²-x＜m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（2，+∞）．

Answer 1

分析 當(dāng)x∈[-1，2]時，x³-x²-x＜m恒成立，即實數(shù)m大于左邊函數(shù)的最大值，利用導(dǎo)數(shù)法可求．

解答 解：由題意，令f（x）=x³-x²-x，
∴f′（x）=3x²-2x-1，
令 f′（x）=3x²-2x-1=0，得x=1或x=-$\frac{1}{3}$，
當(dāng)x∈（-1，-$\frac{1}{3}$）∪（1，2）時 f′（x）＞0，當(dāng)x∈（$-\frac{1}{3}，1$）時，f′（x）＜0．
∴f（x）的增區(qū)間為（-1，-$\frac{1}{3}$），（1，2）；減區(qū)間為（$-\frac{1}{3}，1$）．
∵f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{5}{27}$，f（2）=2．
∴f（x）=x³-x²-x在x∈[-1，2]上的最大值為2．
∴實數(shù)m的取值范圍是m＞2．
故答案為：（2，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，是中檔題．