Question

已知在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為非零常數(shù)，為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，直線的方程為.

（Ⅰ）求曲線的普通方程并說(shuō)明曲線的形狀；

（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使得直線與曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，且（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，請(qǐng)求出；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1），當(dāng)時(shí)，曲線C為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓，當(dāng)時(shí)，曲線C為中心在原點(diǎn)的橢圓；（2）不存在.

【解析】

試題分析：（1）先將曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，討論的值來(lái)判斷方程表示什么圖形；（2）聯(lián)立直線與曲線的方程，因?yàn)橹本�與曲線有2個(gè)不同的公共點(diǎn)，所以判別式大于0，所以，利用韋達(dá)定理將的關(guān)系代入中，解出與相矛盾，所以不存在.

試題解析：（Ⅰ）∵，∴可將曲線C的方程化為普通方程：.      2分

①當(dāng)時(shí)，曲線C為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓；              4分

②當(dāng)時(shí)，曲線C為中心在原點(diǎn)的橢圓.                     6分

（Ⅱ）直線的普通方程為：.                           8分

聯(lián)立直線與曲線的方程，消得，化簡(jiǎn)得.

若直線與曲線C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則，解得.

又，                      10分

故.

解得與相矛盾.   故不存在滿足題意的實(shí)數(shù).        12分

考點(diǎn)：1.極坐標(biāo)系及直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)化；2.根與系數(shù)關(guān)系.