Question

已知函數(shù).
(1當(dāng) 時(shí)， 與)在定義域上單調(diào)性相反，求的 的最小值。
（2）當(dāng)時(shí)，求證：存在，使的三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，且對(duì)任意且都有.

Answer 1

(1) 1，(2)詳見(jiàn)解析.

試題分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，注意考慮函數(shù)定義域. 兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性可以從可以確定的函數(shù)入手.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240541324561655.png" style="vertical-align:middle;" />當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，所以，對(duì)恒成立，所以，在上為增函數(shù)。根據(jù)和在定義域上單調(diào)性相反得，在上為減函數(shù)，所以對(duì)恒成立，即：，所以因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054132799927.png" style="vertical-align:middle;" />，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值.所以，此時(shí)的最小值是，-(2)運(yùn)用函數(shù)與方程思想，方程有三個(gè)不同的解，實(shí)質(zhì)就是函數(shù)與有三個(gè)不同的交點(diǎn) ，由圖像可知在極大值與極小值之間. 證明不等式，需從結(jié)構(gòu)出發(fā)，利用條件消去a,b，將其轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)：，從而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，證明不等式.
解析：(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240541330491631.png" style="vertical-align:middle;" />        2分。
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，
所以，對(duì)恒成立，所以，在上為增函數(shù)。
根據(jù)和在定義域上單調(diào)性相反得，在上為減函數(shù)，所以對(duì)恒成立，即：，所以因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054132799927.png" style="vertical-align:middle;" />，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值.所以，此時(shí)的最小值是，      6分
(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054133532906.png" style="vertical-align:middle;" />當(dāng)時(shí)，，且一元二次方程的，所以有兩個(gè)不相等的實(shí)根     8分
當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；
所以當(dāng)時(shí)，一定有3個(gè)不相等的實(shí)根，，
分別在內(nèi)，不妨設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054133985685.png" style="vertical-align:middle;" />，所以即即
即所以
所以
，令，則
由（1）知在上為減函數(shù)，又
所以當(dāng)，又
所以即       16分