Question

【題目】如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，AA1＝AC＝CB＝AB.

（1）證明：BC1∥平面A1CD；

（2）求二面角D－A1C－E的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）.

【解析】

（1）記，連接，再利用中位線(xiàn)的相關(guān)性質(zhì)即可證明線(xiàn)面平行；

（2）根據(jù)位置關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面法向量的夾角的余弦值并結(jié)合圖形，即可計(jì)算出二面角的余弦值.

（1）記，連接，如圖所示：

因?yàn)閹缀误w是直三棱柱，所以四邊形是矩形，所以為中點(diǎn)，

又因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，所以，

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面；

（2）因?yàn)?/span>，所以，所以是等腰直角三角形，

所以建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示：

設(shè)，則，所以，

所以，

設(shè)平面一個(gè)法向量為，平面一個(gè)法向量為，

所以，所以，令，所以，

又，所以，令，所以，

所以，由圖可知二面角為銳二面角，

所以二面角的余弦值為.