Question

【題目】已知橢圓： （）的右焦點在直線： 上，且橢圓上任意兩個關(guān)于原點對稱的點與橢圓上任意一點的連線的斜率之積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線經(jīng)過點，且與橢圓有兩個交點， ，是否存在直線： （其中）使得， 到的距離， 滿足恒成立？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 時符合題意.

【解析】試題分析：

(1)由題意結(jié)合點差法計算可得， ，則橢圓的方程為.

(2)分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況可得：存在符合題意.

試題解析：

（1）設(shè)橢圓焦距為（），右焦點 為，

∵直線與軸的交點坐標為∴.

設(shè)橢圓上任意一點和關(guān)于原點對稱的兩點， ，

則有， ∴

又∵即∴

又，∴， .

∴橢圓的方程為.

（2）存在符合題意，理由如下：

當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)， 聯(lián)立，得

恒成立

，

不妨設(shè)，

∴

∴，整理得，即滿足條件

當直線的斜率不存在時，顯然滿足條件

綜上， 時符合題意.