Question

19．一動(dòng)圓P與圓C₁：x²+y²+6x+5=0外切，同時(shí)與圓C₂：x²+y²-6x-91=0內(nèi)切，記該動(dòng)圓圓心P的軌跡為曲線C，若點(diǎn)M為曲線C上的任一點(diǎn)，則|MC₂|的最大值為9．

Answer 1

分析 求出兩個(gè)圓的圓心與半徑，設(shè)出動(dòng)圓的圓心與半徑，判斷動(dòng)圓的圓心軌跡，推出結(jié)果即可．

解答 解：圓x²+y²+6x+5=0的圓心為C₁（-3，0），半徑為2；
圓x²+y²-6x-91=0的圓心為C₂（3，0），半徑為10；
設(shè)動(dòng)圓圓心為M（x，y），半徑為x；
則MC₁=2+r，MC₂=10-r；
于是MC₁+MC₂=12＞C₁C₂=6
所以，動(dòng)圓圓心M的軌跡是以C₁（-3，0），C₂（3，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12的橢圓．
a=6，c=3，b²=a²-c²=27；
所以M的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{36}$$+\frac{{y}^{2}}{27}$=1．
|MC₂|的最大值為：a+c=9．
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)．．