Question

9．已知函數(shù)$f（x）=xlnx-x，g（x）=\frac{a}{2}{x^2}-ax（a∈R）$，令h（x）=f（x）-g（x）-ax（a∈R），若h（x）在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點，則a的取值范圍為（　�。�

• A． $（0，\frac{1}{e}）$
• B． $（\frac{1}{e}，1）$
• C． （1，e）
• D． （e，+∞）

Answer 1

分析 求導(dǎo)h′（x）=lnx-ax，由方程lnx-ax=0在（0，+∞）有兩個不同根，
方法一：根據(jù)函數(shù)圖象直線y=ax與y=lnx有兩個交點，求得y=lnx的切點，即可求得a的取值范圍；
方法二：構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx-ax，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求得a的取值范圍．

解答 解：依題意，函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）-ax=xlnx-x-$\frac{a}{2}$x²的定義域為（0，+∞），
求導(dǎo)h′（x）=lnx-ax，
則方程h′（x）=0在（0，+∞）有兩個不同根，
即方程lnx-ax=0在（0，+∞）有兩個不同根．
（解法一）問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點，
如圖：

可見，若令過原點且切于函數(shù)y=lnx圖象的直線斜率為k，
只須0＜a＜k．…6分
令切點A（x₀，lnx₀），則k=y′丨_x=x0=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
又k=$\frac{l{nx}_{0}}{{x}_{0}}$，$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{l{nx}_{0}}{{x}_{0}}$，
解得，x₀=1，于是k=$\frac{1}{e}$，
∴0＜a＜$\frac{1}{e}$；                                            
解法二：令g（x）=lnx-ax，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）有兩個不同零點，
求導(dǎo)g′（x）=$\frac{1}{x}$-ax=$\frac{1-ax}{x}$（x＞0），
若a≤0，可見g′（x）在（0，+∞）上恒成立，
g（x）在（0，+∞）單調(diào)增，
此時g（x）不可能有兩個不同零點．…5分
若a＞0，在0＜x＜$\frac{1}{a}$時，g′（x）＞0，在x＞$\frac{1}{a}$時，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)減，
從而g（x）的極大值，g（x）_極大值=g（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$-1，
又在x→0時，g（x）→-∞，在x→+∞時，g（x）→-∞，于是只須：
g（x）_極大值＞0，即ln$\frac{1}{a}$-1＞0，
∴0＜a＜$\frac{1}{e}$，
綜上所述，0＜a＜$\frac{1}{e}$，
故選：A．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想，分析法證明不等式成立，屬于中檔題．