Question

設f（x）是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f（x）=2x²．
（Ⅰ） 求x＜0時，f（x）的表達式；
（Ⅱ） 令g（x）=lnx，問是否存在x，使得f（x），g（x）在x=x處的切線互相平行？若存在，請求出x值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先取x＜0，-x＞0，再由奇函數的性質f（x）=-f（-x）及x≥0時，f（x）=2x²．求出解析式即可
（Ⅱ）求出兩個函數的導數，令f'（x）=g'（x），若此方程有根，則說明存在，否則說明不存在
解答：解：（Ⅰ）當x＜0時，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-2（-x）²=-2x²；（6分）
（Ⅱ）若f（x），g（x）在x處的切線互相平行，則f'（x）=g'（x），（4分）
，解得，
∵x≥0，得（4分）
點評：本題考查奇函數，求解本題的關鍵是根據奇函數的性質得到方程解出x＜0時，f（x）的表達式，熟練掌握導數的幾何意義，建立導數的方程求方程的根，以此來確定這樣的直線存在與否．