Question

若一個橢圓與雙曲線x2-

y2

3

=1焦點相同，且過點（-

3

，1）．
（Ⅰ）求這個橢圓的標準方程；
（Ⅱ）求這個橢圓的所有斜率為2的平行弦的中點軌跡方程．

Answer 1

分析：（I）先求出雙曲線的焦點坐標，再根據(jù)橢圓的定義求出a，b，c，從而求出橢圓的方程；
（II）設弦的兩端點分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），中點為R（x，y），則代入橢圓的方程后，兩式相減，再利用斜率公式得出一式，由此能求出斜率為2的平行弦的中點軌跡方程．

解答：解：（I）由雙曲線x2-

y2

3

=1得焦點F₁（-2，0），F(xiàn)₂（ 2，0），…（2分）
由條件可知，橢圓過點（-

3

，1），
∴2a=

(- 3 +2)2+1

+

(- 3 -2)2+1

，a²=6，
∴b²=6-4=2，
這個橢圓的標準方程

x2

6

+

y2

4

=1．
（II）設弦的兩端點分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂） 的中點為R（x，y），
則

x12

6

+

y12

4

=1，

x22

6

+

y22

4

=1，
兩式相減并整理可得

2x(x1-x2)

6

+

2y(y1-y2)

4

=0①
將

y1-y2

x1-x2

=2代入式①，
得所求的軌跡方程為x+3y=0（橢圓內部分）．

點評：本題主要考查了雙曲線、橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系的應用，是中檔題．解題時要認真審題，注意點差法的合理運用．