Question

若f（x）是（-a，a）上的可導奇函數(shù)，且f'（x）不恒為零，則f'（x）在（-a，a）上（　　）

• A、必為奇函數(shù)
• B、必為偶函數(shù)
• C、是非奇非偶函數(shù)
• D、可能為奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù)

Answer 1

考點：函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系

專題：導數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：證明f′（x）是（-a，a）內(nèi)的偶函數(shù)即證f′（-x）=f′（x），而函數(shù)f（x）沒有解析式，故想到運用導數(shù)的定義進行證明．

解答： 證明：對任意 x∈（-1，1），f′（-x）=

lim

△x→0

f(-x+△x)-f(-x)

△x

=

lim

△x→0

f(-(x-△x)-f(-x)

△x

，
由于f（x）為奇函數(shù)，∴f[-（x-△x）]=-f（x-△x），f（-x）=-f（x），
于是 f′（-x）=f′（-x）=

lim

△x→0

-f(x-△x)+f(x)

△x

=

lim

△x→0

f(x-△x)-f(x)

△x

=f′（x）
因此f′（-x）=f′（x）即f′（x）是（-1，1）內(nèi)的偶函數(shù)．
故選：B．

點評：本題考查導數(shù)的定義以及函數(shù)奇偶性的判斷，關(guān)鍵是正確利用導數(shù)的定義，函數(shù)奇偶性的判斷方法．