Question

為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川上相距8km的A，B兩點各建一個考察基地，視冰川面為平面形，以過A，B兩點的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系(如圖)．在直線x=2的右側(cè)，考察范圍為到點B的距離不超過km的區(qū)域；在直線x=2的左側(cè)，考察范圍為到A，B兩點的距離之和不超過4km的區(qū)域，

(Ⅰ)求考察區(qū)域邊界曲線的方程；
(Ⅱ)如圖所示，設(shè)線段P₁P₂，P₂P₃是冰川的部分邊界線(不考慮其他邊界)，當冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動，第一年移動0.2km，以后每年移動的距離為前一年的2倍．求冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間．

Answer 1

解：(Ⅰ)設(shè)邊界曲線上點P的坐標為(x，y)，
當x≥2時，由題意知，，
當x＜2時，由|PA|+|PB|=4知，點P在以A，B為焦點，長軸長為2a=4的橢圓上，
此時短半軸長=2，
因而其方程為，
故考察區(qū)域邊界曲線（如圖）的方程為C₁：和C₂：。

(Ⅱ)設(shè)過點P₁，P₂的直線為l₁，過點P₂，P₃的直線為l₂，
則直線l₁，l₂的方程分別為，
設(shè)直線l平行于直線l₁，其方程為，
代入橢圓方程，消去y，得，
由△=100×3m²-4×16×5(m²-4)=0，解得m=8或m=-8，
從圖中可以看出，當m=8時，直線l與C₂的公共點到直線l₁的距離最近，此時直線l的方程為y=x+8，
l與l₁之間的距離為，
又直線l₂到C₁和C₂的最短距離，
而d′＞3，所以考察區(qū)域邊界到冰川邊界線的最短距離為3．
設(shè)冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的時間為n年，
則由題設(shè)及等比數(shù)列求和公式，得，所以n≥4．