Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求證：在上有極大值；

（2）求證：有且僅有兩個不同的零點.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）先求出導函數(shù)，令，求出，利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而證明在上有極大值；

（2）分三種情況討論來說明在各個區(qū)間的零點個數(shù).當時，由（1）可證明在區(qū)間上有兩個零點；當時，因為，令，利用導數(shù)說明在區(qū)間上恒成立，從而證明在區(qū)間上恒成立，則在區(qū)間上沒有零點；當時，因為，設(shè)，同理可證得在區(qū)間上沒有零點，綜上可證明有且僅有兩個不同的零點.

（1）設(shè)，則，

當時，.所以在上單調(diào)遞減.

又因為，，

所以在上有唯一的零點，使.

所以當時，，即，所以當時，，即，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，

故在上有極大值；

（2）由（1）知：當時，，在上單調(diào)遞增；

當時，，在上單調(diào)遞減；

所以在上存在唯一的極大值點，

所以.

又因為，

所以在上恰有一個零點，

又因為，所以在上也恰有一個零點；

當時，，，設(shè)，，

所以在上單調(diào)遞減，所以，

所以當時，恒成立，

所以在上沒有零點；

當時，，設(shè)，，

所以在上單調(diào)遞減，所以，

所以當時，恒成立，

所以在上沒有零點，

綜上，有且僅有兩個零點.