Question

11．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁+$\frac{{a}_{2}}{λ}$+$\frac{{a}_{3}}{{λ}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{λ}^{n-1}}$=n²+2n（其中常數(shù)λ＞0，n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)λ=4時(shí)，若b_n=$\frac{{{a_n}-（2n+1）•{r^n}}}{{（n+\frac{1}{2}）（1+{r^n}）}}$（r∈R，r≠-1），求$\lim_{n→∞}{b_n}$
（3）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．若對(duì)任意n∈N^*，是否存在λ≠1，使得不等式（1-λ）S_n+（2n+1）•λⁿ≤3成立，若存在，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由a₁+$\frac{{a}_{2}}{λ}$+$\frac{{a}_{3}}{{λ}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{λ}^{n-1}}$=n²+2n，得a₁+$\frac{{a}_{2}}{λ}$+$\frac{{a}_{3}}{{λ}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{λ}^{n-2}}$=（n-1）²+2（n-1），二者相減，并整理能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）當(dāng)λ=4時(shí)，a_n=（2n+1）•4^n-1，b_n=$\frac{2（{4}^{n-1}-{r}^{n}）}{1+{r}^{n}}$，由此根據(jù)r的取值進(jìn)行分類討論，能求出$\underset{lim}{n→∞}_{n}$．
（3）${S}_{n}=3+5λ+7{λ}^{2}+…+（2n+1）{λ}^{n-1}$，當(dāng)λ≠1時(shí)，利用錯(cuò)位相減法得到（1-λ）S_n=3+$\frac{2λ（1-{λ}^{n-1}）}{1-λ}-（2n+1）{λ}^{n}$，由此利用反證法能推導(dǎo)出對(duì)任意n∈N^*，不存在λ≠1，使得不等式（1-λ）S_n+（2n+1）•λⁿ≤3成立．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足：a₁+$\frac{{a}_{2}}{λ}$+$\frac{{a}_{3}}{{λ}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{λ}^{n-1}}$=n²+2n（其中常數(shù)λ＞0，n∈N^*），
∴a₁+$\frac{{a}_{2}}{λ}$+$\frac{{a}_{3}}{{λ}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{λ}^{n-1}}$=n²+2n，①
a₁+$\frac{{a}_{2}}{λ}$+$\frac{{a}_{3}}{{λ}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{λ}^{n-2}}$=（n-1）²+2（n-1），②
①-②，得：$\frac{{a}_{n}}{{λ}^{n-1}}=2n+1$，
∴a_n=（2n+1）•λ^n-1．
（2）當(dāng)λ=4時(shí)，a_n=（2n+1）•4^n-1，
b_n=$\frac{{{a_n}-（2n+1）•{r^n}}}{{（n+\frac{1}{2}）（1+{r^n}）}}$=$\frac{（2n+1）•{4}^{n-1}-（2n+1）•{r}^{n}}{（n+\frac{1}{2}）（1+{r}^{n}）}$=$\frac{（2n+1）（{4}^{n-1}-{r}^{n}）}{（n+\frac{1}{2}）（1+{r}^{n}）}$=$\frac{2（{4}^{n-1}-{r}^{n}）}{1+{r}^{n}}$，
∴當(dāng)|r|＞4時(shí)，$\underset{lim}{n→∞}_{n}=-2$，
當(dāng)|r|＜4時(shí)，$\underset{lim}{n→∞}_{n}$不存在，
當(dāng)|r|=4時(shí)，$\underset{lim}{n→∞}_{n}$=-$\frac{3}{2}$，
當(dāng)r=-4時(shí)，$\underset{lim}{n→∞}_{n}$不存在．
（3）${S}_{n}=3+5λ+7{λ}^{2}+…+（2n+1）{λ}^{n-1}$，
當(dāng)λ≠1時(shí)，${S}_{n}=3+5λ+7{λ}^{2}+…+（2n+1）{λ}^{n-1}$，
$λ{(lán)S}_{n}=3λ+5{λ}^{2}+…+（2n-1）{λ}^{n-1}+（2n+1）$λⁿ，
（1-λ）S_n=3+2（λ+λ²+λ³+…+λ^n-1）-（2n+1）•λⁿ=3+$\frac{2λ（1-{λ}^{n-1}）}{1-λ}-（2n+1）{λ}^{n}$，
假設(shè)對(duì)任意n∈N^*，存在λ≠1，使得不等式（1-λ）S_n+（2n+1）•λⁿ≤3成立，
∵$（1-λ）{S}_{n}+（2n+1）•{λ}^{n}$=3+$\frac{2λ（1-{λ}^{n-1}）}{1-λ}$，
∴（1-λ）S_n+（2n+1）•λⁿ=3+$\frac{2λ（1-{λ}^{n-1}）}{1-λ}$≤3，∴$\frac{1-{λ}^{n-1}}{1-λ}≤0$，
但是當(dāng)0＜λ＜1時(shí)，1-λ^n-1＞0，1-λ＞0，∴$\frac{1-{λ}^{n-1}}{1-λ}＞0$，n≥2，
當(dāng)λ＞1時(shí)，1-λ^n-1＜0，1-λ＜0，∴$\frac{1-{λ}^{n-1}}{1-λ}＞0，（n≥2）$，矛盾，假設(shè)不成立，
∴對(duì)任意n∈N^*，不存在λ≠1，使得不等式（1-λ）S_n+（2n+1）•λⁿ≤3成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的極限的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值是否存在的判斷與求法，綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求較高，解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減法和反證法的合理運(yùn)用．