Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{x^2}+3x+2a}}{x}$，x∈[2，+∞）
（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，試判斷f（x）在（2，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明．
（2）若對(duì)任意x∈[2，+∞），f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，按照取值、作差、變形并判斷符號(hào)、下結(jié)論的方法完成證明；
（2）這是一個(gè)不等式恒成立問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題求解，在求解之前可以先將字母a分離出來(lái)，然后構(gòu)造函數(shù)，研究單調(diào)性，求其最值．

解答 解：（1）當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時(shí)，$f（x）=\frac{{x}^{2}+3x+1}{x}=x+\frac{1}{x}+3$，該函數(shù)在（2，+∞）上單調(diào)遞增．
由題意設(shè)2≤x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=${x}_{2}-{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{2}}-\frac{1}{{x}_{1}}$
=$（{x}_{2}-{x}_{1}）（\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$①
因?yàn)?≤x₁＜x₂，所以x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＞0，
所以①式＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以f（x₂）＞f（x₁），故函數(shù)f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）由f（x）＞0有$\frac{{x}^{2}+3x+2a}{x}＞0$對(duì)x∈[2，+∞）恒成立，
即2a＞-x²-3x對(duì)x∈[2，+∞）恒成立，
令g（x）=-x²-3x，x∈[2．+∞），
該二次函數(shù)在$（-\frac{3}{2}，+∞）$上遞減，所以該函數(shù)在[2，+∞）上遞減，
故g（x）_max=g（2）=-10．
所以要使原式成立，只需2a＞g（x）_max=-10成立，
即a＞-5即為所求．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性，一般采用定義法或?qū)��?shù)法進(jìn)行判斷或求解，本題用的是定義法；而不等式恒成立問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值解決問(wèn)題，能分離參數(shù)的盡量分離參數(shù)．