Question

已知圓M的方程為：x²+y²-2x-2y-6=0，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓N與圓M相內(nèi)切．
（1）求圓N的方程；
（2）圓N與x軸交于E、F兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比數(shù)列，求

DE

•

DF

的取值范圍；
（3）過(guò)點(diǎn)M作兩條直線(xiàn)分別與圓N相交于A、B兩點(diǎn)，且直線(xiàn)MA和直線(xiàn)MB的傾斜角互補(bǔ)，試判斷直線(xiàn)MN和AB是否平行？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：化簡(jiǎn)圓M的方程為：x²+y²-2x-2y-6=0，為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑．
（1）判定圓心N在圓M內(nèi)部，因而內(nèi)切，用|MN|=R-r，求圓N的方程；
（2）根據(jù)圓N與x軸交于E、F兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比數(shù)列，列出關(guān)系，再求

DE

•

DF

的表達(dá)式的取值范圍；
（3）直線(xiàn)MA和直線(xiàn)MB的傾斜角互補(bǔ)，故直線(xiàn)MA和直線(xiàn)MB的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)MA的斜率為k，則直線(xiàn)MB的斜率為-k．得到直線(xiàn)MA的方程，直線(xiàn)MB的方程，聯(lián)立方程組，求出AB的斜率，判定與MN的斜率是否相等即可．

解答：解：圓M的方程可整理為：（x-1）²+（y-1）²=8，故圓心M（1，1），半徑R=2

2

．
（1）圓N的圓心為（0，0），
因?yàn)閨MN|=

2

＜2

2

，所以點(diǎn)N在圓M內(nèi)，
故圓N只能內(nèi)切于圓M．
設(shè)其半徑為r．
因?yàn)閳AN內(nèi)切于圓M，
所以有：|MN|=|R-r|，
即

2

=|2

2

-r|，解得r=

2

．
或r=3

2

（舍去）；
所以圓N的方程為
x²+y²=2．
（2）由題意可知：E（-

2

，0），F(xiàn)（

2

，0）．
設(shè)D（x，y），由|DE|、|DO|、|DF|成等比數(shù)列，
得|DO|²=|DE|×|DF|，
即：

(x+ 2 )2+y2

×

(x- 2 )2+y2

=x²+y²，
整理得：x²-y²=1．
而=（-

2

-x，-y），
=（

2

-x，-y），•
=（-

2

-x）（

2

-x）+（-y）（-y）=x²+y²-2=2y²-1，由于點(diǎn)D在圓N內(nèi)，
故有

x2+y2＜2  x2-y2=1

，由此得y²＜

1

2

，所以

DE

•

DF

∈[-1，0）．
（3）因?yàn)橹本�(xiàn)MA和直線(xiàn)MB的傾斜角互補(bǔ)，故直線(xiàn)MA和直線(xiàn)MB的斜率存在，
且互為相反數(shù)，設(shè)直線(xiàn)MA的斜率為k，則直線(xiàn)MB的斜率為-k．故直線(xiàn)MA的方程為
y-1=k（x-1），
直線(xiàn)MB的方程為
y-1=-k（x-1），
由

y-1=k(x-1) x2+y2=2

，
得（1+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0．
因?yàn)辄c(diǎn)M在圓N上，故其橫坐標(biāo)x=1一定是該方程的解，
可得x_A=

k2-2k-1

1+k2

，
同理可得：x_B=

k2+2k-1

1+k2

，
所以k_AB=

yB-yA

xB-xA

=

-k(xB-1)-k(xA-1)

xB-xA

=

2k-k(xB+xA)

xB-xA

=1=k_MN．
所以，直線(xiàn)AB和MN一定平行．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，等差數(shù)列的性質(zhì)，圓的公切線(xiàn)方程等知識(shí)，考查邏輯思維能力，是中檔題．