Question

已知函數f（x）=lnx-

ax

x+1

．
（1）若函數f（x）有極值，求實數a的取值范圍；
（2）當f（x）有兩個極值點（記為x₁和x₂）時，求證f（x₁）+f（x₂）≥

x+1

x

•[f（x）-x+1]．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）由已知得x＞0，且有f′(x)=

1

x

-

a

(x+1)2

=

x2+(2-a)x+1

x(x+1)2

，由此利用導數性質能求出當函數f（x）存在極值時，實數a的取值范圍是a＞4．
（Ⅱ）x₁，x₂是x²+（2-a）x+1=0的兩個解，從而x₁x₂=1，欲證原不等式成立，只需證明f（x）-lnx≥f（x）-x+1成立，即證lnx-x+1≤0成立，由此利用構造法和導數性質能證明f（x₁）+f（x₂）≥

x+1

x

•[f（x）-x+1]．

解答： （Ⅰ）解：由已知得x＞0，且有f′(x)=

1

x

-

a

(x+1)2

=

x2+(2-a)x+1

x(x+1)2

，
在方程x²+（2-a）x+1=0中，△=a²-4a．
①當△≤0，即0≤a≤4時，f′（x）≥0恒成立，此時f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∴函數f（x）無極值；
 ②當△＞0，即a＞4時，方程x²+（2-a）x+1=0有兩個不相等的實數根：
x1=

(a-2)- a2-4a

2

，x2=

(a-2)+ a2+4a

2

，
且∵（a-2）²≥a²-4a，∴0＜x₁＜x₂，
∵當x∈（0，x₁）或x∈（x₂，+∞）時，f′（x）＞0；
當x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（

(a-2)- a2-4a

2

，

(a-2)+ a2+4a

2

）上單調遞減，
在（0，

(a-2)- a2-4a

2

）和（

(a-2)+ a2-4a

2

，+∞）上單調遞增，
∴f（x）存在極值．
綜上所述：當函數f（x）存在極值時，實數a的取值范圍是a＞4．
（Ⅱ）證明：∵x₁，x₂是f（x）的兩個極值點，故滿足方程f′（x）=0，
即x₁，x₂是x²+（2-a）x+1=0的兩個解，∴x₁x₂=1，
∵f（x₁）+f（x₂）=lnx₁-

ax1

x1+1

+lnx₂-

ax2

x2+1

=ln（x₁x₂）-

a(2x1x2+x1+x2)

x1x2+x1+x2+1

=-a，
在f（x）=lnx-

ax

x+1

中，-a=

x+1

x

[f(x)-lnx]，
欲證原不等式成立，只需證明f（x）-lnx≥f（x）-x+1成立，
即證lnx-x+1≤0成立，
令g（x）=lnx-x+1，則g′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，
當x∈（0，1）時，g′（x）＞0，函數g（x）在（0，1）上單調遞增；
當x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上單調遞減，
∴g（x）_max=g（1）=0，∴g（x）≤0，即lnx-x-1≤0成立，
∴f（x₁）+f（x₂）≥

x+1

x

•[f（x）-x+1]．

點評：本題主要考查極值的概念、利用導數研究函數的單調性等基礎知識，同時考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力．