Question

f（x）=1g（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0）
（1）求f（x）的定義域；
（2）問是否存在實數a、b，當x∈（1，∞）時，f（x）的值域為（0，+∞），且 f（2）=1g2？若存在，求出a、b的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a^x-b^x＞0，（a＞1＞b＞0）得 ＞0，由此求得f（x）的定義域．
（2）令g（x）=a^x-b^x，可得 x∈（1，+∞）時，g（x）＞1．由g（1）=1，可得a-b=1 ①，又f（2）=lg2，故 a²-b²=2 ②，由①②求得a、b的值．
解答：解：（1）由a^x-b^x＞0，（a＞1＞b＞0）得 ＞0，∴x＞0．
∴f（x）的定義域為（0，+∞）．
（2）令g（x）=a^x-b^x，又 a＞1＞b＞0，∴g（x）在 （0，+∞）上為增函數．
當x∈（1，+∞）時，f（x）的值取到一切正數等價于x∈（1，+∞）時，g（x）＞1，
∴g（1）=1，可得a-b=1 ①，又f（2）=lg2，故 a²-b²=2 ②，
由①②得 a=，b=．
點評：本題主要考查對數函數的定義域，復合函數的單調性規(guī)律，對數函數的圖象和性質的綜合應用，屬于中檔題．