Question

已知函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+ax+1存在兩個極值點x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求證：函數f（x）的導函數f′（x）在（-2，0）上是單調函數；
（2）設A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），若直線AB的斜率不小于-2，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）∵函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+ax+1存在兩個極值點x₁，x₂，且x₁＜x₂．
∴f'（x）=x²+ax+a，△=a²-4a＞0，∴a＞4或a＜0，且x₁+x₂=-a，x₁x₂=a
∴f''（x）=2x+a∴x∈（-2，0）時，f''（x）=2x+a∈（-4+a，a）
若a＞4時，f''（x）＞0，f′（x）在（-2，0）上是單調增函數
若a＜0時，f''（x）＜0，f′（x）在（-2，0）上是單調減函數
得證．
（2）直線AB的斜率=

f(x2)-f(x1 )

x2-x1

=

1 3 [(x2)3-(x1)3]+ 1 2 a[(x2)2-(x1)2]+a(x2-x1)

x2-x1

=

1

3

（x₂²+x₁²+x₁x₂）+

1

2

a(x1+x2)+a=

1

3

[(x1+ x2 )2-x1x2]+

1

2

a(x1+x2)+a≥-2
∵x₁+x₂=-a，x₁x₂=a
∴

1

3

(a2-a)-

1

2

a2+a≥-2∴-2≤a≤6