Question

已知雙曲線x²-y²=2
（1）求以M（3，1）為中點的弦所在的直線的方程
（2）求過M（3，1）的弦的中點的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）以M（3，1）為中點的雙曲線的弦的中點坐標，利用點差法，求出直線方程，再進行驗證可得結論．
（2）設直線方程為y-1=kx-3K，把它代入x²-y²=1，得（k²+1）x²+（6k²-2K）x+6K-9K²-2=0，由此入手可以求出所截弦的中點的軌跡方程．

解答：解：（1）設以M（3，1）為中點的雙曲線的弦BC，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₁²-y₁²=1①，x₂²-y₂²=1②
①-②可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
∵M（3，1）為BC的中點
∴6（x₁-x₂）-2（y₁-y₂）=0，BC的斜率為：
∴

y1-y2

x1-x2

=3
∴以A（3，1）為中點的雙曲線的弦所在的直線方程為y-1=3（x-3），即y=3x-8
代入雙曲線方程可得3x²-6x+8=0，此時△＜0，即所求直線不存在
為：3x-y-8=0
（2）解：設直線方程為y-1=kx-3k，
把它代入x²-y²=1，
整理得（k²+1）x²+（6k²-2k）x+6k-9k²-2=0．
因為（3，1）在雙曲線內部，所以直線和雙曲線有兩個不同交點，
設直線與雙曲線兩個交點為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），中點坐標為C（x，y），則
x=

x1+x2

2

=

6k2-2k

2k2+2

=

3k2-k

k2+1

，
y=kx-3k+1．k=

y-1

x-3

消去k得x=

3( y-1 x-3 )2- y-1 x-3

( y-1 x-3 )2+1

，
可得：x²-y²-3x+y=0，這就是所求軌跡方程．

點評：本題考查用代入法求軌跡方程，中點公式的應用，考查直線與雙曲線的位置關系，考查點差法的運用，代入驗證是關鍵．