Question

15．在極坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)A（4，0）、$B（4，\frac{3π}{2}）$、$C（ρ，\frac{π}{6}）$．
（1）若A、B、C三點(diǎn)共線，求ρ的值；
（2）求過OAB三點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （1）由題意知點(diǎn)A、B直角坐標(biāo)為A（4，0）、B（0，-4），從而直線AB的方程為x-y-4=0，點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為$（\frac{{\sqrt{3}ρ}}{2}，\frac{ρ}{2}）$，由此能求出ρ的值．
（2）A（4，0）、B（0，-4）、O（0，0），設(shè)過O、A、B三點(diǎn)的圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，利用待定系數(shù)法求出圓的方程直角坐標(biāo)方程，由此能求出圓的極坐標(biāo)方程．

解答 解：（1）∵在極坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)A（4，0）、$B（4，\frac{3π}{2}）$、$C（ρ，\frac{π}{6}）$，
∴由題意知點(diǎn)A、B直角坐標(biāo)為A（4，0）、B（0，-4），
∴直線AB的方程是$\frac{x}{4}-\frac{y}{4}=1$，即x-y-4=0，
又∵點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為$（\frac{{\sqrt{3}ρ}}{2}，\frac{ρ}{2}）$，∴$\frac{{\sqrt{3}ρ}}{2}-\frac{ρ}{2}-4=0$，
解得$ρ=4（\sqrt{3}+1）$．…（5分）
（2）∵A（4，0）、B（0，-4）、O（0，0），
∴設(shè)過O、A、B三點(diǎn)的圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16+4D+F=0}\\{16-4E+F=0}\\{F=0}\end{array}\right.$，解得D=-4，E=4，
∴圓的方程為x²+y²-4x+4y=0
∴圓的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρcosθ+4ρsinθ=0，
整理得ρ=4cosθ-4sinθ…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查圓的極坐標(biāo)方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)互化公式的合理運(yùn)用．