Question

【題目】已知函數f(x)＝ln x＋ax－＋b.

(1)若函數g(x)＝f(x)＋為減函數，求實數a的取值范圍；

(2)若f(x)≤0恒成立，證明：a≤1－b.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）求出函數的導數，根據，分參數，求解的范圍即可；

（2）求出函數的導數，令，通過討論的范圍，令，根據函數的單調性得到，從而證出結論即可.

試題解析：

(1)解　g(x)＝f(x)＋＝ln x＋ax＋＋b，x>0.

對g(x)求導可得g′(x)＝＋a－，x>0.

要使g(x)在(0，＋∞)為減函數，則有g′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，即a≤－＝－，

所以a≤－，故實數a的取值范圍是.

(2)證明　f′(x)＝＋＋a＝(x>0)，

令y＝ax2＋x＋1，

當a≥0時，f′(x)>0，函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，不滿足f(x)≤0恒成立；

當a<0時，Δ＝1－4a>0，當ax2＋x＋1＝0，得x＝>0或x＝<0，

設x0＝，函數f(x)在(0，x0)上單調遞增；在(x0，＋∞)上單調遞減.

又f(x)≤0恒成立，所以f(x0)≤0，即ln x0＋ax0－＋b≤0.

由上式可得b≤－ax0－ln x0，由ax＋x0＋1＝0，得a＝－，

所以a＋b≤－ax0－ln x0－＝－ln x0＋－＋1.

令t＝，t>0，h(t)＝ln t＋t－t2＋1，

h′(t)＝＝，

當0<t<1時，h′(t)>0，函數h(t)在(0，1)上單調遞增，

當t≥1時，h′(t)≤0，函數h(t)在(1，＋∞)上單調遞減，h(t)≤h(1)＝1.

故a＋b≤1，即a≤1－b.