Question

已知函數(shù)

（1）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若且對(duì)任意，恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，求證：

 

Answer 1

【答案】

（1）遞增區(qū)間；遞減區(qū)間；（2）；（3）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041004455695425680/SYS201404100446343761748244_DA.files/image004.png">，求并解不等式得單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式，得單調(diào)遞減區(qū)間；（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041004455695425680/SYS201404100446343761748244_DA.files/image008.png">是偶函數(shù)，故不等式對(duì)恒成立，只需求函數(shù)（）的最小值即可，先求的根，得，當(dāng)時(shí)，將定義域分段并分別考慮兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)，進(jìn)而求最小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)，利用單調(diào)性求最小值；（3），觀察所要證明不等式，左邊可看成，

，……這n對(duì)的積，只需證明每對(duì)的積大于即可.

試題解析：（1），令，解得，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減 .

（2）為偶函數(shù)，恒成立等價(jià)于對(duì)恒成立.

當(dāng)時(shí)，，令，解得

①當(dāng)，即時(shí)，在減，在增

，解得，

②當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

，符合，   綜上，

（3） 

   

  

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性上的應(yīng)用；2、導(dǎo)數(shù)在極值和最值方面的應(yīng)用；3、不等式放縮法證明.