Question

1．若關(guān)于x的方程2x³-3x²+a=0在區(qū)間[-2，2]上僅有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （-4，0]∪[1，28）
• B． [-4，28]
• C． [-4，0）∪（1，28]
• D． （-4，28）

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的增區(qū)間為[-2 0）、（1，2]，減區(qū)間為（0，1），根據(jù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上僅有一個(gè)零點(diǎn)可得f（0）≠0，故$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）=a-28≤0}\\{f（0）=a＞0}\\{f（1）=a-1＞0}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=a＜0}\\{f（2）=a+4≥0}\end{array}\right.$②，分別求得①、②的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：設(shè)f（x）=2x³-3x²+a，則f′（x）=6x²-6x=6x（x-1），x∈[-2，2]，
令f′（x）≥0，求得-2≤x≤0，1≤x≤2 令f′（x）＜0，求得 0＜x＜1，
故函數(shù)的增區(qū)間為[-2 0）、（1，2]，減區(qū)間為（0，1），
∵若f（1）=0，則a=1，
則f（x）=2x³-3x²+1=（2x+1）（x-1）²，與提意不符合．
∴f（1）≠0
根據(jù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上僅有一個(gè)零點(diǎn)，f（-2）=a-28，f（0）=a，f（1）=a-1，f（2）=a+4，
若f（0）=a=0，則f（x）=x² （2x-3），顯然不滿足條件，故f（0）≠0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）=a-28≤0}\\{f（0）=a＞0}\\{f（1）=a-1＞0}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=a＜0}\\{f（2）=a+4≥0}\end{array}\right.$②．
解①求得1＜a≤28，解②求得-4≤a＜0，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．