Question

【題目】已知四面體有五條棱長(zhǎng)為3，且外接球半徑為2.動(dòng)點(diǎn)P在四面體的內(nèi)部或表面，P到四個(gè)面的距離之和記為s.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在，兩處時(shí)，s分別取得最小值和最大值，則線段長(zhǎng)度的最小值為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

設(shè)四面體為,其中，取的中點(diǎn)分別為，求出的長(zhǎng)，將點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和記為s，轉(zhuǎn)化為到其中兩個(gè)面的距離，利用等體積的方法分析出距離之和的最值，從而得到線段長(zhǎng)度的最小值為，上兩點(diǎn)間的距離的最小值，得到答案.

四面體為,其中,設(shè).

取的中點(diǎn)分別為，連接 ,如圖.

在等腰三角形中，有.

所以平面，又為的中點(diǎn).

則四面體的外接球的球心一定在平面 上.

同理可得四面體的外接球的球心一定在平面上.

所以四面體的外接球的球心一定在上.

連接，設(shè).

在直角三角形中，.

在三角形中，.

在直角三角形中,.

所以長(zhǎng)為定值，的長(zhǎng)為定值.

根據(jù)條件有,設(shè)為, ,設(shè)為

設(shè)點(diǎn)到四個(gè)面,,,的距離分別為.

設(shè)四面體的體積為(為定值)

由等體積法有：

所以

所以

當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，最小.

當(dāng)點(diǎn)遠(yuǎn)離時(shí)，的值增大，

由等體積法可得當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，的值相等，且此時(shí)的值最大.

所以當(dāng)點(diǎn)在或上時(shí)，取得最值.

故線段長(zhǎng)度的最小值為，上兩點(diǎn)間的距離的最小值.

由上可知，.

所以，上兩點(diǎn)間的距離的最小值為.

故答案為：.