【題目】設(shè)
，函數(shù)
.
（1）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)
，若
有兩個相異零點
，
，且
，求證：
.
【答案】（1）當(dāng)
時，
的單調(diào)遞增區(qū)間是
，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)
時，的單調(diào)遞減區(qū)間是
，單調(diào)遞增區(qū)間是
；（2）證明見解析.
【解析】
（1）求導(dǎo)，分，兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)正負(fù)，即得解；
（2）由
，構(gòu)造
，結(jié)論
，可轉(zhuǎn)化為
，構(gòu)造函數(shù)
，分析單調(diào)性研究單調(diào)性，即可證.
（1）
，
，
當(dāng)時，
，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；
當(dāng)時，令，解得
，則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間
上是增函數(shù).
綜上得：當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.
（2）由題意得，
.
因為
，
是方程
的兩個不同的實數(shù)根，所以
，兩式相減得
，解得.
要證：，即證：
，即證：，
即證：
，
令
（因為
），則只需證
.
設(shè)，∴
；
令
，∴
，
在
上為減函數(shù)，
∴
，∴
，
在為增函數(shù)，
.
即在上恒成立，∴.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】心理學(xué)研究表明，人極易受情緒的影響，某選手參加7局4勝制的兵乒球比賽.
（1）在不受情緒的影響下，該選手每局獲勝的概率為
；但實際上，如果前一句獲勝的話，此選手該局獲勝的概率可提升到
；而如果前一局失利的話，此選手該局獲勝的概率則降為
，求該選手在前3局獲勝局?jǐn)?shù)
的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）假設(shè)選手的三局比賽結(jié)果互不影響，且三局比賽獲勝的概率為
，記
為銳角
的內(nèi)角，求證：
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知直線
的斜率為
，縱截距為
.
（1）求點（2，4）關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo)；
（2）求與直線平行且距離為
的直線方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為
（a為參數(shù)），在以原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為
.
（1）求C的普通方程和l的傾斜角；
（2）設(shè)點
，l和C交于A，B兩點，求
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某芯片公司為制定下一年的研發(fā)投入計劃，需了解年研發(fā)資金投入量
（單位：億元）對年銷售額
（單位：億元）的影響.該公司對歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析，建立了兩個函數(shù)模型:①
，②
，其中
均為常數(shù)，
為自然對數(shù)的底數(shù)．
現(xiàn)該公司收集了近12年的年研發(fā)資金投入量
和年銷售額
的數(shù)據(jù)，
，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了右側(cè)的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．令
，經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)：
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（1）設(shè)
和
的相關(guān)系數(shù)為
，
和
的相關(guān)系數(shù)為
，請從相關(guān)系數(shù)的角度，選擇一個擬合程度更好的模型；
（2）（i）根據(jù)（1的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；
（ii）若下一年銷售額需達(dá)到90億元，預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量是多少億元？
附：①相關(guān)系數(shù)
，回歸直線
中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
，
；
② 參考數(shù)據(jù)：
，
，
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐
中，
平面
，
，點
是棱
的中點，
，點
是棱
上一點，且
.
（1）證明：
平面
；
（2）若
，
，點
在棱
上，且
，求直線
與平面所成角的正弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，直線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），曲線
的方程為
.以坐標(biāo)原點為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線
的極坐標(biāo)方程為
.交于
，
兩點（在軸上方），交極軸于點
（異于極點
）.
（1）求的直角坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)；
（2）若
為
的中點，
為上的點，求
的最小值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，E是AB的中點，F是BC的中點
（1）求證：EF∥平面A1DC1；
（2）若長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，夾在平面A1DC1與平面B1EF之間的幾何體的體積為
，求點D到平面B1EF的距離.
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