Question

已知焦點(diǎn)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）的橢圓經(jīng)過點(diǎn)（1，

2

2

），直線l過點(diǎn)F₂與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求

OA

•

OB

的范圍；
（Ⅲ）若直線AB的斜率存在且不為零，向量

OA

+

OB

與向量

a

=（-2

2

，1）平行，求

OA

•

OB

的值及△AOB的外接圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：圓與圓錐曲線的綜合,向量在幾何中的應(yīng)用,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,轉(zhuǎn)化思想

分析：（1）直接把橢圓經(jīng)過點(diǎn)(1，

2

2

)的坐標(biāo)代入方程，再結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)即可求橢圓的方程；
（2）把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求出關(guān)于A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)和直線斜率之間的關(guān)系，再代入

OA

•

OB

的表達(dá)式即可求出求

OA

•

OB

的范圍；
（3）先把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求出關(guān)于A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)和直線斜率之間的關(guān)系，求出

OA

+

OB

，利用

OA

+

OB

與向量

a

=(-2

2

，1)共線求出直線斜率進(jìn)而求出求

OA

•

OB

的值及△AOB的外接圓方程．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
由題得

1 a2 + 1 2 b2 a2-b2=1

=1⇒a²=2，b²=1，
所以橢圓的方程是

x2

2

+y2=1，
（2）當(dāng)K存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=K（x-1）．
聯(lián)立

y=K(x-1) x2 2 +y2=1

，化簡(jiǎn)為（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）x1+ x2=

4k2

2k2+1

，x1•x2=

2k2-2

2k2+1

．

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-1) (x2-1)
∴

OA

• 

OB

=

k2-2

2k2+1

（#）
令

k2-2

2k2+1

=m則k2=

m+2

1-2m

≥0
∴-2≤m＜

1

2

，∴-2≤

OA

•

OB

＜

1

2

當(dāng)K不存在時(shí)，A(1，

2

2

)，B(1，-

2

2

)，則

OA

•

OB

=

1

2

綜上，-2≤

OA

•

OB

≤

1

2

．
（3）

OA

•

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂）
∴-2

2

(y1+y2)=x1+x2，
∴-2

2

(k(x1-1)+k(x2-1))=x1+x2
由韋達(dá)定理知k=0或k=

2

代入（#）得

OA

•

OB

=-2或0
當(dāng)

OA

•

OB

=-2時(shí)，A，O，B共線，不存在外接圓
當(dāng)

OA

•

OB

=0時(shí)，

OA

⊥

OB

，外接圓直徑為AB，圓心為(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)即(

4

5

，-

2

5

)
r2=|OC|2=

18

25

，
∴△AOB的外接圓方程為(x-

4

5

)2+(y+

2

5

)2=

18

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關(guān)系以及向量共線問題．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，由于集中交匯了直線，圓錐曲線兩章的知識(shí)內(nèi)容，綜合性強(qiáng)，能力要求高，還涉及到函數(shù)，方程，不等式，平面幾何等許多知識(shí)，可以有效的考查函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想和轉(zhuǎn)化化歸的思想，因此，這一部分內(nèi)容也成了高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)．