Question

已知兩點(diǎn)F₁(-1,0)及F₂(1,0),點(diǎn)P在以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓C上,且|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|構(gòu)成等差數(shù)列.

（1）求橢圓C的方程;

（2）如圖,動(dòng)直線l:y=kx+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn)M,N是直線l上的兩點(diǎn),且F₁M⊥l, F₂N⊥l.求四邊形F₁MNF₂面積S的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）

【解析】

試題分析：(1)依題意,設(shè)橢圓的方程為.

構(gòu)成等差數(shù)列,

, .

又,.

橢圓的方程為   

(2) 將直線的方程代入橢圓的方程中,

得 

由直線與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)知,,

化簡(jiǎn)得: 

設(shè),, 

(法一)當(dāng)時(shí),設(shè)直線的傾斜角為,

則,

,      , 

,當(dāng)時(shí),,,.

當(dāng)時(shí),四邊形是矩形, 

所以四邊形面積的最大值為 

(法二), 

. 

. 

四邊形的面積,                        

                                                   

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,故. 

所以四邊形的面積的最大值為 

考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了橢圓方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題。