Question

有一幅橢圓型彗星軌道圖，長(zhǎng)4 cm，高，如下圖，已知O為橢圓中心，A₁，A₂是長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，太陽(yáng)位于橢圓的左焦點(diǎn)F處．

(Ⅰ)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫(xiě)出橢圓方程，并求出當(dāng)彗星運(yùn)行到太陽(yáng)正上方時(shí)二者在圖上的距離；

(Ⅱ)直線(xiàn)l垂直于A(yíng)₁A₂的延長(zhǎng)線(xiàn)于D點(diǎn)，|OD|＝4，設(shè)P是l上異于D點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)A₁P，A₂P分別交橢圓于M、N(不同于A(yíng)₁，A₂)兩點(diǎn)，問(wèn)點(diǎn)A₂能否在以MN為直徑的圓上？試說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)建立圖示的坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為依題意，2a＝4， 　　橢圓方程為　　2分 　　F(－1，0)將x＝－1代入橢圓方程得 　　∴當(dāng)彗星位于太陽(yáng)正上方時(shí)，二者在圖中的距離為1.5 cm．　　5分 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，A1(－2，0)，A2(2，0)， 　　設(shè)M(在橢圓上， 　　 　　又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A1，A2，∴－2＜x0＜2， 　　由P、M、A1三點(diǎn)共線(xiàn)可得P 　　　　8分 　　　　10分 　　 　　∴P、A2、N三點(diǎn)共線(xiàn)，∴直線(xiàn)A2M與NA2不垂直， 　　∴點(diǎn)A2不在以MN為直徑的圓上　　12分