Question

已知a_i＞0(i=1,2,…,n),考查①a₁·≥1;②(a₁+a₂)(+ )≥4;③(a₁+a₂+a₃)(++)≥9后歸納出對(duì)a₁,a₂,…,a_n也成立的類似不等式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

Answer 1

解：猜想(a₁+a₂+…+a_n)(++…+)≥n².

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

(1)由已知,n=1,2,3時(shí),不等式成立.

(2)假設(shè)n=k時(shí),不等式成立,

即有則

當(dāng)n=k+1時(shí),

≥k²+=k²+2k+1=(k+1)².

∴n=k+1時(shí),不等式也成立.

由(1)(2),知對(duì)任意正整數(shù)都有猜想不等式成立.

綠色通道:

用經(jīng)驗(yàn)歸納法猜想到的是一個(gè)不等式,在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí),n=k+1時(shí)的目標(biāo)必須清楚明確,證明不等式時(shí),可用綜合法、分析法、放縮法等方法.本例用了基本不等式縮小得到目標(biāo)的方法.