Question

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為，（其中為參數(shù)，），在極坐標(biāo)系（以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為極軸）中，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為．
（1）把曲線(xiàn)和的方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）若曲線(xiàn)上恰有三個(gè)點(diǎn)到曲線(xiàn)的距離為，求曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程．

Answer 1

（1）曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為：；曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為；
（2）曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為.

試題分析：（1）對(duì)于曲線(xiàn)，把已知參數(shù)方程第一式和第二式移向，使等號(hào)右邊分別僅含、，平方作和后可得曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；對(duì)于曲線(xiàn)，把代入極坐標(biāo)方程的展開(kāi)式中即可得到曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程.
（2）由于圓的半徑為，所以所求曲線(xiàn)與直線(xiàn)平行，且與直線(xiàn)相距時(shí)符合題意.利用兩平行直線(xiàn)的距離等于，即可求出，進(jìn)而得到曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程.
試題解析：（1）曲線(xiàn)的參數(shù)方程為，即，將兩式子平方化簡(jiǎn)得，
曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為：；
曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，即，
所以曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為.
（2）由于圓的半徑為，故所求曲線(xiàn)與直線(xiàn)平行，且與直線(xiàn)相距時(shí)符合題意.由，解得.故曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為.