Question

如圖，在面積為18的△ABC中，AB=5，雙曲線E過點A，且以B、C為焦點，已知

AB

•

AC

=27，

CA

•

CB

=54．
（1）建立適當坐標系，求雙曲線E的方程；
（2）是否存在過點D（1，1）的直線l，使l與雙曲線交于不同的兩點M、N，且

DM

+

DN

=0．如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）以BC所在直線為x軸，線段BC的中點O為原點，線段BC的中垂線為y軸建立坐標系．設∠BAC=α，∠ACB=β，|AC|=m，|BC|=n，則

AB • AC =5mcosα=27 S△ABC= 1 2 •5msinα=18

⇒m=9；

CA • CB =9ncosβ=54 S△ABC= 1 2 •9nsinβ=18

⇒n=2

13

．由此能求出雙曲線E的方程．
（2）架設存在滿足條件的直線l，使l與雙曲線E交于不同的兩點M、N，并設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）且x₁≠x₂，由

DM

+

DN

=0知點D是線段MN的中點，所以x₁+x₂=2，y₁+y₂=2．由此能夠推導出直線l的方程為9x-4y-5=0，但由

x2 4 - y2 9 =1 9x-4y-5=0

得45x²-90x+160=0，△＜0，所以不存在滿足條件的直線l．

解答：解：（1）以BC所在直線為x軸，線段BC的中點O為原點，
線段BC的中垂線為y軸建立如圖所示坐標系
設∠BAC=α，∠ACB=β，|AC|=m，|BC|=n
則

AB • AC =5mcosα=27 S△ABC= 1 2 •5msinα=18

⇒

5mcosα=27 5msinα=36

兩式平方相加得：m=9
又

CA • CB =9ncosβ=54 S△ABC= 1 2 •9nsinβ=18

⇒

9ncosβ=54 9nsinβ=36

兩式平方相加得：n=2

13

設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1
有雙曲線的定義，有2a=||AC|-|AB||=|m-5|=4  即a=2
又2c=n=2

13

⇒c=

13

∴b²=c²-a²=9
∴雙曲線E的方程為

x2

4

-

y2

9

=1
（2）架設存在滿足條件的直線l，使l與雙曲線E交于不同的兩點M、N，
并設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）且x₁≠x₂
由

DM

+

DN

=0知點D是線段MN的中點，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=2
由于點M、N都在雙曲線E上
∴

x12 4 - y12 9 =1 x22 4 - y22 9 =1

，將兩式相減得：

(x1+x2)(x1-x2)

4

-

(y1+y2)(y1-y2)

9

=0⇒

y1-y2

x1-x2

=

9

4

即直線l的斜率為

9

4

此時直線l的方程為y-1=

9

4

（x-1），即9x-4y-5=0
但由

x2 4 - y2 9 =1 9x-4y-5=0

⇒45x²-90x+160=0⇒△＜0
∴不存在滿足條件的直線l．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，是高考的重點．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．對數(shù)學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．